[알고리즘] 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)은 동적 계획법이라고도 하며, 메모리 공간을 약간 더 사용함으로써 연산 속도를 비약적으로 줄일 수 있는 방법이다. 

 

다이나믹 프로그래밍으로 해결할 수 있는 대표적인 예시로 피보나치 수열이 있다. 피보나치 수열은 이전 두 항의 합을 현재의 항으로 설정하는 특징이 있는 수열이다. 

피보나치 수열의 점화식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 

결과적으로 첫 번째 항과 두 번째 항의 값이 모두 1이기 때문에 최종적으로 피보나치 수열을 나타낼 때에는 다음과 같이 정의할 수 있다.

이를 해석하면 다음과 같다. 

• n번째 피보나치 수=(n-1)번째 피보나치 수  + (n-2)번쨰 피보나치 수
• 단, 1번째 피보나치 수 = 1, 2번째 피보나치 수 = 1

프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트로 표현할 수 있다. 수열 자체가 여러 개의 수가 규칙에 따라서 배열된 형태를 의미하는 것이기 때문이다. 파이썬에서는 리스트 자료형이 이를 처리하고, C/C++와 자바에서는 배열을 이용해 이를 처리한다. 리스트나 배열  모두 '연속된 많은 데이터'를 처리한다는 점은 동일하다. 

 

그렇다면 이 점화식에 따라서 실제로 피보나치 수를 구하는 과정을 어떻게 표현할 수 있을까? n번째 피보나치 수를 f(n)이라고 표현할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하려면 다음과 같이 f를 반복해서 호출할 것이다. 그런데 f(2)와 f(1)은 항상 1이기 때문에 f(1)이나 f(2)를 만났을 때는 호출을 정지한다. 

수학적 점화식을 프로그래밍으로 표현하려면 재귀함수를 사용하면 간단하다. 위 예시를 소스코드로 바꾸면 다음과 같다.

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀 함수로 구현
def fibo(x):
  if x == 1 or x == 2:
    return 1
  return fibo(x-1) + fibo(x-2)

print(fibo(4))

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그런데 피보나치 수열의 소스코드를 위와 같이 작성하면 심각한 문제가 생길 수 있다. 바로 f(n) 함수에서 n이 커지면 커질수록 수행 시간이 기하급수적으로 늘어나기 때문이다. 위 소스코드(피보나치 수열)의 시간 복잡도는 O(2^n)의 지수 시간이 소요된다. f(6)일 때의 호출 과정을 그림으로 확인 해 보자.

그림을 보면 동일한 함수가 반복적으로 호출되는 것을 알 수 있다. 이미 한 번 계산했지만, 계속 호출할 때마다 계산하는 것이다. 즉, f(n)에서 n이 커지면 커질수록 반복해서 호출하는 수가 많아진다. 

 

이처럼 피보나치 수열의 점화식을 재귀 함수를 사용해 만들 수는 있지만, 단순히 매번 계산하도록 하면 문제를 효율적으로 해결할 수 없다. 이러한 문제는 다이나믹 프로그래밍을 사용하면 효율적으로 해결할 수 있다. 다만 항상 다이나믹 프로그래밍을 사용할 수는 없으며, 다음 조건을 만족할 때 사용할 수 있다. 

1. 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
2. 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다. 

피보나치 수열은 이러한 조건을 만족하는 대표 문제이다. 이 문제를 메모이제이션(Memoization) 기법을 사용해서 해결해보자. 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 한 종류로, 한 번 구한 결과를 메모리 공간에 메모해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법을 의미한다. 메모이제이션은 값을 저장하는 방법이므로 캐싱(Caching)이라고도 한다. 

메모이제이션은 한 번 구한 정보를 리스트에 저장함으로써 구현될 수 있다. 다이나믹 프로그래밍을 재귀적으로 수행하다가 같은 정보가 필요할 때는 이미 구한 정답을 그대로 리스트에서 가져오면 된다. 

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0]*100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
  # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
  if x == 1 or x == 2:
    return 1
  # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
  if d[x] != 0:
    return d[x]
  # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
  d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
  return d[x]

print(fibo(99))

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정리하자면 다이나믹 프로그래밍이란 큰 문제를 작게 나누고, 같은 문제라면 한 번씩만 풀어 문제를 효율적으로 해결하는 알고리즘 기법이다. 사실 큰 문제를 작게 나누는 방법은 퀵 정렬에서도 소개된 적 있다. 퀵 정렬을 수행할 때 정렬할 리스트를 분할하며 전체적으로 정렬이 될수 있도록 한다. 이는 분할 정복 알고리즘으로 분류된다. 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 다이나믹 프로그래밍은 문제들이 서로 영향을 미치고 있다는 점이다. 

 

메모이제이션 기법을 이용하여 그려보면 6번째 피보나치 수를 호출할 때는 다음 그림처럼 색칠된 노드만 방문하게 된다. 

따라서 다이나믹 프로그래밍을 적용했을 때의 피보나치 수열 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N)이 된다. 실제 함수가 종료될 때 어떤 함수를 호출했는지, 현재의 피보나치 수를 출력하도록 코드를 만들면 실제로는 아래 그림처럼 호출된다는 것을 알 수 있다. 

d = [0]*100

def fibo(x):
  print('f(' + str(x) + ')', end=' ')
  
  if x == 1 or x == 2:
    return 1

  if d[x] != 0:
    return d[x]

  d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
  return d[x]

fibo(6)

f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)
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이처럼 재귀함수를 이용하여 다이나믹 프로그래밍 소스코드를 작성하는 방법을, 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출한다고 하여 탑다운(Top-Down)방식이라고 말한다. 반면에 단순히 반복문을 이용하여 소스코드를 작성하는 경우, 작은 문제부터 차근차근 답을 도출한다고 하여 보텀업(Bottom-Up) 방식이라고 말한다. 피보나치 수열 문제를 보텀업 방식으로 풀면 다음과 같다.

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n+1):
  d[i] = d[i-1] + d[i-2]

print(d[n])

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탑다운(메모이제이션) 방식은 '하향식'이라고도 하며, 보텀업 방식은 '상향식'이라고도 한다. 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이다. 보텀업 방식에서 사용되는 결과 저장용 리스트는 'DP 테이블'이라고 부르며, 메모이제이션은 탑다운 방식에 국한되어 사용되는 표현이다. 다이나믹 프로그래밍과 메모이제이션의 개념을 혼용해서 사용하는 경우도 있는데, 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓은 넓은 개념을 의미하므로, 다이나믹 프로그래밍과는 별도의 개념이다. 한 번 계산된 결과를 어딘가에 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다. 

 

코딩 테스트에서 문제를 푸는 첫 번째 단계는 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이다. 특정한 문제를 완전 탐색 알고리즘으로 접근했을 때 시간이 매우 오래걸리면 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있는지 해결하고자 하는 부분 문제들의 중복 여부를 확인해보자. 

일단 단순히 재귀 함수로 비효율적인 프로그램을 작성한 뒤에 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 즉 메모이제이션을 적용할 수 있으면 코드를 개선하는 방법도 좋은 아이디어다. 앞서 다루었던 피보나치 수열의 예제처럼 재귀 함수를 작성한 뒤에 나중에 메모이제이션 기법을 적용해 소스코드를 수정하는 것도 좋은 방법이다. 

또한 가능하다면 재귀 함수를 이용하는 탑다운 방식보다는 보텀업 방식으로 구현하는 것을 권장한다. 시스템상 재귀 함수의 스택 크기가 한정되어 있을 수 있기 때문이다. 실제로 앞에서 제시한 재귀적인 피보나치 수열의 소스코드에서 오천 번째 이산의 큰 피보나치 수를 구하도록 하면 'recursion depth(재귀 함수 깊이)'와 관련된 오류가 발생할 수 있다. 이 경우 sys 라이브러리에 포함되어 있는 setrecursionlimit() 함수를 호출하여 재귀 제한을 완화할 수 있다.