[알고리즘] 그래프 이론 - 서로소 집합(Disjoint Sets)

그래프(Graph)

그래프(Graph)란? 노드(Node)와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가지고 있는 자료구조를 의미한다. 알고리즘 문제를 접했을 때 '서로 다른 개체(혹은 객체)가 연결되어 있다.'는 말이 나오면 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올려야 한다. 예를 들어 '여러 개의 도시가 연결되어 있다.'와 같은 내용이 등장하면 그래프 알고리즘을 의심해 봐야 한다. 

트리(Tree) 자료구조

트리 자료구조는 부모에서 자식으로 내려오는 계층적인 모델에 속한다. 컴퓨터공학 분야에서 트리 자료구조는 방향 그래프로 간주된다. 

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

 

그래프 구현 방법

	인접 행렬(Adjacency Matrix)	인접 리스트(Adjacency List)
방식	2차원 배열을 사용하는 방식	리스트를 사용하는 방식
메모리 공간	O(V^2)	O(E)
A에서 B로 이어진 간선의 비용	O(1)	O(V)
사용 알고리즘	플로이드 워셜 알고리	다익스트라 최단 경로 알고리즘(큐)
적합한 사용 예(최단 경로)	노드 개수가 적은 경우	노드와 간선의 개수가 많은 경우

* V: 노드의 개수, E: 간선의 개수

 

서로소 집합(Disjoint Sets)

서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 예를 들어 집합 {1, 2}와 집합 {3, 4}는 서로소 관계이다. 반면에 집합 {1, 2}와 집합 {2, 3}은 2라는 원소가 두 집합에 공통적으로 포함되어 있기 때문에 서로소 관계가 아니다. 

 

서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다. 서로소 집합 자료구조는 union과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다. union(합집합) 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다. find(찾기) 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다. 스택과 큐가 각각 push(넣기)와 pop(꺼내기) 연산으로 이루어졌던 것처럼, 서로소 집합 자료구조는 합집합과 찾기 연산으로 구성된다. 

 

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다. 서로소 집합 정보(합집합 연산)가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다. 

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
   1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
   2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가리키도록 한다)
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다. 

기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  if parent[x] != x:
    return find_parent(parent, parent[x])
  return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
  parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합:', end='')
for i in range(1, v+1):
  print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
  print(parent[i], end=' ')

6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

각 원소가 속한 집합:1 1 1 1 5 5
부모 테이블:1 1 2 1 5 5

 

위와 같이 구현하면 답을 구할 수는 있지만, find 함수가 비효율적으로 동작한다. 최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인하는 터라 시간 복잡도가 O(V)라는 점이다. 

 

경로 압축 기법(Path Compression) 

하지만 이러한 find 함수는 경로 압축(Path Compression) 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신하는 기법이다. 기존의 find 함수를 다음과 같이 변경하면 경로 압축 기법의 구현이 완료된다.

def find_parent(parent, x):
  if parent[x] != x:
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  return parent[x]

이렇게 함수를 수정하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다. 

개선된 서로소 집합 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  if parent[x] != x:
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
  parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합:', end='')
for i in range(1, v+1):
  print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
  print(parent[i], end=' ')

6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

각 원소가 속한 집합:1 1 1 1 5 5
부모 테이블:1 1 1 1 5 5

 

 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 다양한 알고리즘에 사용될 수 있다. 특히 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다는 특징이 있다. 

앞서 union 연산은 그래프에서 간선으로 표현될 수 있다고 했다. 따라서 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도 사이클을 판별할 수 있다.

알고리즘은 다음과 같다. 

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다. 
   1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다. 
   2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

이러한 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다. 이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무향 그래프에서만 적용 가능하다. 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  if parent[x] != x:
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
  parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  # 사이클이 발생한 경우 종료
  if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
    cycle = True
    break
  # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
  else:
    union_parent(parent, a, b)

if cycle:
  print("사이클이 발생했습니다.")
else:
  print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

3 3
1 2
1 3
2 3

사이클이 발생했습니다.